收敛数列一定有界吗

收敛数列一定是有界的，收敛的数列{xn}，在n→∞时，xn→A，这个A是一个固定的极限值，是一个常数，所以必然有界。但这个有界不是说上下界都有，只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。

有界的数列不一定收敛，最简单的例子xn=sin(n)，或者xn=(-1)^n，它们都是有界数列，但n→∞时，xn的极限不存在，所以不收敛。也就是说前面有限个(1到N)当然有界，后面无穷多个(N+1开始)被极限控制住。