极限固定公式,极限收敛公式!

极限固定公式与极限收敛公式

极限概念是微积分和数学分析的基础，它描述了函数或序列在特定点的行为特征。极限固定公式和极限收敛公式是两个重要的极限规则，它们为求解极限提供了便利。

定义：若存在实数L，使得对于任意给定的常数ε>0，总存在一个正数δ>0，使得对任意满足0<|x-a|<δ的x，都有|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)在x=a处的极限为L，记作lim_(x→a)f(x)=L。

性质：

1. 和的极限等于各个极限的和。

2. 积的极限等于各个极限的积。

3. 商的极限等于分子的极限除以分母的极限，但分母的极限不能为0。

定义：若级数的第n项通项为a_n，且lim_(n→∞)a_n=0，则称该级数收敛；否则该级数发散。

判别准则：

1. 项数有限的级数收敛。

2. 正项级数收敛当且仅当它的部分和数列单调有界。

3. 交错级数收敛，其值等于部分和数列的极限。

1. 求极限：

- 求lim_(x→2)x^2-3x+2，可将f(x)=x^2-3x+2带入极限固定公式直接计算。

2. 证明极限：

- 证明lim_(x→a)sqrt(x)=sqrt(a)，可使用极限固定公式，取ε>0，令δ=ε^2，则当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|=|sqrt(x)-sqrt(a)|<=sqrt{|x-a|}=sqrt(ε^2)=ε，故lim_(x→a)sqrt(x)=sqrt(a)。

3. 数列极限：

- 求数列a_n=n^2/(n+1)的极限，可将an表示成a_n=n(n+1)/(n+1)-n/(n+1)=n-1/(n+1)，然后利用极限固定公式求出lim_(n→∞)a_n=lim_(n→∞)n-lim_(n→∞)1/(n+1)=∞-0=∞。

1. 级数收敛性判断：

- 判断级数1+1/2+1/4+...是否收敛，可使用项数有限的级数收敛准则，直接判断其收敛。

2. 交错级数求和：

- 求交错级数1-1/2+1/3-1/4+...的和，可使用交错级数收敛准则，得知该级数收敛，其和小于1。

3. 函数展开：

- 使用级数展开函数，例如将函数f(x)=1/(1+x)展开成泰勒级数f(x)=1-x+x^2-x^3+...，可使用极限收敛公式判断该级数的收敛性。

总结：

极限固定公式和极限收敛公式是求解极限和判断级数收敛性的重要工具。它们提供了简便的方法来解决各种极限问题，为微积分和其他数学领域奠定了坚实的基础。这些公式的正确理解和熟练应用对于理解更高级的数学概念至关重要。