分式如何求导

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在微积分中，求导是一个非常重要的概念。它可以帮助我们计算函数在某一点的斜率，从而更好地理解函数的性质。在求导的过程中，我们经常会遇到分式。那么，分式如何求导呢？

我们需要知道一个基本的求导公式：如果$f(x)$和$g(x)$都是可导的函数，那么$\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)$。这个公式告诉我们，对于一个求和的函数，我们可以将它拆分成两个函数的求导之和。

接下来，我们来看一个简单的分式：$y=\frac{1}{x}$。我们可以将它写成$y=x^{-1}$的形式。根据求导公式，我们有$\frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}x^{-1}$。现在，我们需要使用链式法则来求导。链式法则告诉我们，如果$y=f(u)$，而$u=g(x)$，那么$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。将它应用到我们的分式中，我们有$\frac{d}{dx}x^{-1}=\frac{d}{du}u^{-1}\cdot\frac{du}{dx}$。因为$u=x$，所以$\frac{du}{dx}=1$。又因为$u^{-1}=x^{-1}$，所以$\frac{d}{du}u^{-1}=-x^{-2}$。将它们代入公式中，我们得到$\frac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}\cdot1=-\frac{1}{x^2}$。因此，$y=\frac{1}{x}$的导数是$y'=-\frac{1}{x^2}$。

接下来，我们来看一个稍微复杂一些的分式：$y=\frac{x^2+1}{x}$。我们可以将它写成$y=x+\frac{1}{x}$的形式。根据求导公式，我们有$\frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}(x+\frac{1}{x})$。现在，我们需要分别对$x$和$\frac{1}{x}$求导。对于$x$，它的导数是$1$。对于$\frac{1}{x}$，我们可以使用之前的求导公式，得到它的导数是$-\frac{1}{x^2}$。将它们代入公式中，我们得到$\frac{d}{dx}(x+\frac{1}{x})=1-\frac{1}{x^2}$。因此，$y=\frac{x^2+1}{x}$的导数是$y'=1-\frac{1}{x^2}$。

我们来看一个更加复杂的分式：$y=\frac{x^3+2x^2+3x+4}{x^2+1}$。我们可以使用长除法将它化简为$y=x+2-\frac{x-2}{x^2+1}$的形式。根据求导公式，我们有$\frac{d}{dx}y=\frac{d}{dx}(x+2-\frac{x-2}{x^2+1})$。现在，我们需要分别对$x+2$和$\frac{x-2}{x^2+1}$求导。对于$x+2$，它的导数是$1$。对于$\frac{x-2}{x^2+1}$，我们需要使用商规则来求导。商规则告诉我们，如果$y=\frac{u}{v}$，那么$y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$。将它应用到我们的分式中，我们有$\frac{d}{dx}\frac{x-2}{x^2+1}=\frac{(1)(x^2+1)-(x-2)(2x)}{(x^2+1)^2}$。将它们代入公式中，我们得到$\frac{d}{dx}(x+2-\frac{x-2}{x^2+1})=1-\frac{3x^2-2x+2}{(x^2+1)^2}$。因此，$y=\frac{x^3+2x^2+3x+4}{x^2+1}$的导数是$y'=1-\frac{3x^2-2x+2}{(x^2+1)^2}$。

结束语：求导分式需要使用链式法则和商规则。对于简单的分式，我们可以直接使用这些规则来求导。对于复杂的分式，我们需要使用长除法将它们化简为更简单的形式，然后再求导。

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